[수학] 리만 가설에 관하여

소수에 관한 여러 문제(가령, 골드바하8) 가설, 쌍둥이 소수 짝의 문제, Bertrand9)의 주장)들을 소개하겠다.

2. 리만 제타함수

리만 가설의 내용을 어느 정도 이해하기 위해서는 우선,

(ㄱ) 복소수(complex number)의 개념
(ㄴ) 해석적(解析的; analytic or holomorphic) 함수의 개념
(ㄷ) 유리형(meromorphic) 함수의 개념
(ㄹ) 해석적 접속(analytic continuation)의 개념

등의 기본적인 여러 개념을 알아야 한다.
상기의 개념을 간략하게 설명하겠습니다. 복소수의 개념은 여러분 모두가 잘 알고 있기 때문에 설명은 생략하겠습니다. 복소함수 가 의 근방에서 극한값
을 가질 때 함수 는 에서 해석적이다라고 한다. 영역(a region) 의 모든 점에서 복소 함수 가 해석적일 때 는 상에서 해석적이
다라고 한다. 그리고 해석적 함수이고 의 형태의 함수를 유리형 함수라고 한다. 복소 함수 가 의 근방에서

(단, 임)의 형태일 때 함수는 에서 계의 극점
을 갖는다고 한다. 영역 에서 정의되는 해석적 함수 가 주어져 있다고 하자. 를 포함하는 영역 상에 유리형 함수 가 존재하여 상에서는 일 때 함수 를 의 해석적 접속이라고 한다. 예를 들면, 기하급수로 주어지는 함수

는 중심이 원점인 단위원 내부 에서 정의되는 해석적 함수이다. 그런데 함수 는 상에서 정의되는 해석적 함수이며 상에서는 이다. 그러므로 를 의 해석적 접속이라 말할 수 있다.

도움말 : (1) 자연대수

는 무리수이다.
(2) 가 복소수이고 일 때


와 같이 정의한다. 가령, 이 자연수일 때 이다.
(3) 일 때 무한급수 는 수렴한다. 그리고 무한급수

는 발산한다.
(4) 이라 놓으면 는 domain(open and connected set)이다. 여기서, 는 복소수 전체의 집합을 나타내는 복소수 체이다. 제타함수

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