Schrödinger 파동방정식의 개념

입자가 어느 한 순간 한 장소에서 존재할 확률은 하나의 값을 가져야 한다는 것이다. 이 풀이는 또 선형적이어서 이 de Brogile파는 파동이 가져야 될 중첩의 성직을 가져야 한다.
예를 들어 팽팽히 당겨진 줄이 갖는 파동은 y(x, t)=Asin(kx-ωt)의 형태를 가지고, 전자기파도 비슷한 형태인 E(x, t) = E0sin(kx-ωt)와 B(x, t) = B0sin(kx-ωt)가 된다. 따라서 가설로서 Ψ(x, t)로 표현될 자유입자의 de Brogile 파동이 기본적인 형태로서 Ψ(x, t)=Asin(kx-ωt)를 갖는다고 하자. 이 파동은 파장 λ=2π/k와 주파수 ν=ω/2π를 갖는다. 이 문제를 단순화시키기 위해 시간의존도를 무시하고 특정한 시간, 예컨대 t=0과 같은 한 순간의 파동의 형태만을 다루고 Ψ(x)가 Ψ(x, t=0)라고 정의하면 다음을 얻는다.
Ψ(x)=A sin kx …………(2)
이 식에는 반드시 위치에너지 U가 관련되어야 한다. U가 일차항으로 나타나면,(같은 차원도 같고 에너지도 보존하기 위하여)E도 일차항으로 나타나야만 한다. 이전의 결과인 을 사용하여, x에 대하여 두번 미분을 취하면 식 (2)로 부터 k2을 갖는 항을 하나 얻는다. 즉
………(3)
이 되고 이것은 또
………(4)
로 쓸 수 있다. 식 (4)는 2차 미분 방정식으로 다음과 같은 성질들을 갖도록 구성한 식이다. 즉 ①에너지 보존 법칙이 성립하여야 하고 ②선형이며 홑값을 가져야 하며 ③de Brogile 파동과 일치하는 자유 입자(U=0)의 풀이를 낳아야 한다. 이러한 성질들을 만족시키는 다른 식들도 만들 수가 있겠으나, 오직 식(4)만이 수많은 물리적 상황으로부터의 실험적 결과들과 일치하여야만 되는 그 엄격한 검증을 거친 식이다. 식(4)가 일차원에서의 시간에 무관한 Schrödinger방정식이다.

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