재료역학 - 변형률 해석 정의 및 개념

1-1 변위, 변형과 변형률

1-1-1 변위
여러 하중들이 구조물이나 기계요소에 작용될 때, 일반적으로 물체의 개개의 점들은 움직인다. 적정한 기준좌표계에서 측정한 임의의 점의 움직임은 변위(displacement)라고 하는 벡터량이다. 예를 들어 변위가 xy 평면에 제한되어 있는 물체를 고려해 보자 그림 1-1 에서 실선은 하중이 작용되기 전의 물체를 나타내며 점선은 하중 작용 후의 변형된 물체를 나타낸다. 초기 길이 Li 인 선분 AB는 최종 길이 Lf 인 선으로 변형되었고, 점 A는 A로 변위되었다. A에서 A까지의 벡터를 점 A의 변위라 한다. 이 2차원 예에서 변위벡터의 x방향 스칼라성분은 uA이고 y방향 성분은 vA이다. 만약 Li Lf 이면 강체이고 Li6 Lf 이면
물체는 변형되었다. 어떤 경우에, 변위는 물체 전체의 회전이나 병진운동과 관련이 있고, 물체의 크기나 형상변화에는 관련이 없다. 물체의 크기나 형상변화에 관련이 없는 변위에 관한 연구는 강체역학에서 취급된다. 외력의 작용에 의해서 발생된 변위들이 물체의 크기와 혹은 형상을 변화시킬 때, 물체의 각 점들은 서로서로에 대해서 상대적으로 움직이게 된다. 이와 같은 상대적 변위에 따른 형상변화를 변형(deformation)이라고 하며, 그리스 문자 델타()로 표기한다.
`그림 1-1`

1-1-2 변형
변형은 힘이나 응력 또는 온도변화에 연관될 수 있다. 그림 1-1에서 선분 AB의 변형()는 이다. 동일 재료이며 동일 단면적을 지닌 봉들이 서로 다른 하중을 받을때 (그림 1-2a) 둘째 봉이 첫째 봉 길이의 반이라면 똑같은 변형을 가질 것이다. 마찬가지로, 만약 동일 재료이며 동일 단면적을 지닌 두 개의 봉이 동일하중을 받는다면(그림 1-2b), 2-L 길이의 봉의 변형은 1-L 길이의 봉의 변형의 두 배가 된다. 그러므로 응력이 내력의 세기(단위면적당 힘)를 측정하기 위하여 사용되는 것처럼 변형의 정도(크기)에 대한
정…(생략)

량적인 측정이 필요하다.
`그림 1-2`

1-1-3 변형률
응력(stress, 단위면적당 힘)이 내력의 세기를 측정하기 위하여 사용되는 것처럼, 변형률(strain, 단위길이당 변형)은 변형의 크기를 측정하기 위하여 사용되는 양
이다. 전단원에서는 두 가지 형태의 응력, 즉 수직응력과 전단응력이 정의되었고, 이.와 같은 분류가 변형률에도 적용된다. 수직변형률(normal strain)은 그리스 문자 입실론()으로 표기되며, 변형되는 동안에 발생하는 물체의 크기(임의의 선 요소의 인장이나 수축)변화를 측정한다. 전단변형률(shearing strain)은 그리스문자 감마()로 표기되며, 변형하는 물체의 형상변화(변형하지 않은 상태에서 서로 수직인 두 직선들 사이의 각변화)를 측정한다. 변형 혹은 변형률은 응력이나 온도변화의 결과이며, 입자의 성장이나 수축과 같은 다른 물리적 현상들의 결과이기도 하다.

1-1-4 평균 축변형률
1축 하중(그림 1-3a 참조)을 받고 있는 단순 봉의 길이(혹은 폭) 변화를 이용해서 수직변형률의 개념을 설명할 수가 있다. 봉의 길이에 걸친 평균 축변형률(average axial strain, 수직변형률, 앞으로 축변형률이라고 부르기로 함) avg는 축변형n을 봉의 원래 길이(L)로 나누어 얻는다

`식 1-1`
즉, 축방향 변형률은 길이 L로 그 길이방향의 변형 n으로 나눈 것이다.
`그림 1-3`

1-1-5 한 점에서의 축변형률
변형이 봉의 길이에 따라 균일하지 않을 경우에(예를 들어, 긴 봉이 자체 중량에 의해서 매달려 있을 때) 식 (1-1)에 의해서 주어진 평균 축변형률은 봉의 길이방향에 위치한 임의의 한 점 P에서의 축변형률과는 상당히 다를 수가 있다. 한점에서의 축변형률은 축변형이 측정되는 길이를 아주 작게 함으로써 구해진다.
즉., 인 극한의 경우에 그 점에서의 축변형률로 정의되는 (P)가 얻어지며, 이 과정은 다음과 같은 수식으로 표현된다.
`식 1-2`
1-1-6 전단변형률
비슷